解析几何¶
直线 & 方程¶
方程¶
直线方程在解析几何中有不同的形式，以下是直线方程的几种常见形式，并给出相应的例子：
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点斜式：\(y - y_1 = k(x - x_1)\)
其中 \(k\) 是直线的斜率，\((x_1, y_1)\) 是直线上的一个已知点。
后面减的是点坐标就对了。
e.g.
如果直线经过点 \((2, 3)\) 且斜率为 \(4\) ，则方程为：\(y - 3 = 4(x - 2)\)。
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斜截式：\(y = kx + b\)
其中 \(k\) 是斜率，\(b\) 是直线与 \(y\) 轴的交点（\(y\) 轴截距）。
这个不用多说吧，从小学到大。
e.g.
如果直线的斜率为 \(-3\) 且在 \(y\) 轴上的截距为 \(5\) ，则方程为：\(y = -3x + 5\)
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横截式：\(x = my + t\)
其中 \(m\) 是倒斜率 \((m = \dfrac{1}{k} \ or \ m = 0)\) ，\(t\) 为直线与 \(x\) 轴的交点 (\(x\) 轴截距)。
把上面那个全都给倒过来，\(x\) 与 \(y\) 互换，斜率去倒，截距也取 \(x\) 轴上的。
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两点式：\(\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)
适用于已知直线上的两个点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)。
有个点永远都是被减的 qwq。
e.g.
如果直线经过点 \((1, 2)\) 和 \((3, 4)\)，则方程为： \(\dfrac{y - 2}{4 - 2} = \dfrac{x - 1}{3 - 1}\)
简化后得到： \(y - 2 = 2(x - 1)\)
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截距式：\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)
其中 \(a\) 是 \(x\) 轴截距，\(b\)是 \(y\) 轴截距。如果截距为 \(0\) ，则形式变为： \(\dfrac{x}{|a|} - \dfrac{y}{|b|} = 1\)
这个好记，\(x\) 除 \(x\) 轴截距，\(y\) 除 \(y\) 轴截距，加起来都是 \(1\)。
e.g.
如果直线在 \(x\) 轴上的截距为 \(4\)，在 \(y\) 轴上的截距为 \(6\)，则方程为： \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{6} = 1\)
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一般式：\(Ax + By + C = 0\)
其中 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 是常数，且 \(A\) 和 \(B\) 不同时为 \(0\)。
就把斜截式移个项就对了。
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参数式：\(x = x_0 + at ; y = y_0 + bt\)
其中 \((x_0, y_0)\) 是直线上的一个点，\(a\) 和 \(b\) 是与直线方向相关的参数，\(t\) 是参数。
e.g.
如果直线经过点 \((1, 1)\)，且方向向量为 \((2, 3)\)，则参数式为： \(x = 1 + 2t 、 y = 1 + 3t\)
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极坐标式：\(\rho = \dfrac{d}{\sin(\theta - \alpha)}\)
其中 \(\rho\) 是极径，\(d\) 是直线到原点的距离，\(\alpha\) 是直线的极角。
e.g.
如果直线到原点的距离为 \(4\)，极角为 \(30^\circ\)，则极坐标式为： \(\rho = \dfrac{4}{\sin(\theta - 30^\circ)}\)
给我记！！QAQ
距离公式¶
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两点间距离公式：
设 \(A(x_1, x_2)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则 \(|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)。
这个没啥说头吧，勾股直接推。需要注意的是题目中看到 \(A^2 + B^2\) 的结构注意往这想。
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点到直线距离公式
设点 \(P(x_0, y_0)\)，直线 \(l:Ax + By + C = 0\)，则点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离为
\[ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]也没啥说头，你得记 qwq。这种题目一般条件明示点到直线。
推导过程
设点 \(A(x_0, y_0)\)，直线 \(l: Ax + By + C = 0\)，则可得直线斜率
那么可得 \(l\) 的垂线 \(l'\) 的斜率为
又因为 \(l'\) 过点 \(A\)，代入点斜式
整理得 \(l'\) 的一般式为 \(Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0\)
将 \(l\) 的点斜式 \(y = \dfrac{-(Ax + C)}{B}\) 代入 \(l'\) 的一般式，得
即可解得 \(l\) 与 \(l'\) 交点坐标为 \((\dfrac{B^2x_0 - ABy_0 - AC}{A^2 + B^2}, \dfrac{A^2y_0 -ABx_0 - BC}{A^2 + B^2})\)
根据两点间距离公式即可计算得交点与 \(A\) 的距离为
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平行线间距离公式
设 \(l_1: Ax + By + C_1 = 0\)，\(l_2: Ax + By + C_2 = 0\) 且 \(C_1 \neq C_2\)，
则 \(l_1 \parallel l_2\)，且相距距离为
\[ d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]如果 \(l_1\) 与 \(l_2\) 的 \(A\) 与 \(B\) 并不相等但互成比例，则变下形把 \(A\) 与 \(B\) 化成一样的就行了。
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弦长公式
设 \((x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，若 \(A\)，\(B\) 在直线 \(y = kx + b\) 上，则
\[ |AB| = \sqrt{1 + k^2}·|x_1 - x_2| \]若 \(A\)，\(B\) 在直线 \(x = my + t\) 上，则
\[ |AB| = \sqrt{1 + m^2}·|y_1 - y_2| \]
对称问题¶
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点关于直线对称
如图 3-1，若要求点 \(A\) 关于直线 \(l_0\) 对称的 \(A'\)，可设点 \(A'\) 为 \((a, b)\)，用 \(AA' \perp l_0\) 和 \(AA'\) 的中点在 \(l_0\) 上来联立求解 \(a\) 和 \(b\)。
需要注意的是，若 \(l_0\) 的斜率为 \(\pm 1\) 时，可直接由 \(l_0\) 方程把 \(x\) 与 \(y\) 表示出来，再分别带入 \(A\) 的横纵坐标即可求得 \(A'\)。
e.g.
\(A (1, 2)\)，\(l_0: x + y - 2 = 0\)，则由方程反解 \(x\) 与 \(y\)
\[ x + y - 2 = 0 \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} x = 2 - y \\ y = 2 - x \end{aligned} \right. \]再将 \(A (1, 2)\) 带入上述两式可得
\[ \left \{ \begin{aligned} x = 2 - 2 = 0 \\ y = 2 - 1 = 1 \end{aligned} \right. \]因此 \(A\) 关于 \(l_0\) 的对称点坐标 \(A'\) 为 \((0, 1)\)。
证明过程
如图 3-2，由于直线 \(l_0\) 的斜率为 \(\pm 1\)，不难得出四边形 \(ABA'C\) 为正方形。
不难看出，当我们将点 \(A\) 的横坐标代入 \(l_0\) 的解析式时，实质上解出的是点 \(B\) 的纵坐标。
而由于 \(A'\) 与 \(B\) 的纵坐标相同，我们就得到了 \(A'\) 的纵坐标。
同理，将 \(A\) 的纵坐标代入 \(l_0\) 的解析式时实质上得到的是 \(C\) 的横坐标，与 \(A'\) 的横坐标相同。
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圆关于直线对称
关于直线对称的两圆，其圆心也关于直线对称，且两圆半径相等。
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直线与直线对称
如图 3-3，求直线 \(g\) 关于 \(f\) 对称的直线 \(g'\)，通过直线 \(g'\) 过 \(f\) 与 \(g\) 的交点以及在 \(f\) 上取一点 \(A\)，\(A\) 到两直线距离相等这两个条件联立求解 \(g'\)。
特殊情况就是对称轴（即上面的 \(f\)）与 \(y\) 轴平行或垂直，相信大家都会就不多讲了。
一些小 tricks（不定期更新）
设两条直线分别为 \(l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0\) 与 \(l_2 = A_2x + B_2y + C_2 = 0\)， 若 \(l_1 \perp l_2\)，则有
证明
首先，我们把上面两条直线写成我们熟知的斜截式：
此时，设 \(k_1 = \dfrac{-A_1}{B_1}\) ，\(k_2 = \dfrac{-A_2}{B_2}\)， 那么显然有 \(k_1k_2 = -1\)
再将其换为原始形式，即
移项变形即得