空间向量¶
数量积 & 应用¶
- 求解两异面直线夹角
\(eg.\) 三棱柱 \(ABC - A_1B_1C_1\) 中，底面边长等于测棱长，\(\angle{BAA_1} = \angle{CAA_1} = 60\degree\)，求异面直线 \(AB_1\) 与 \(BC_1\) 所成角余弦值 = ？
首先，由于题目未给出棱长，并且求角与棱长无关，故设棱长都为 \(1\)。
通过公式
\[ \cos{<\overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{BC_1}>} = \dfrac{\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{BC_1}}{\lVert\overrightarrow{AB_1}\rVert*\lVert\overrightarrow{BC_1}\rVert} \]
可知，我们需要求得 \(\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{BC_1}\) 的值。
又因为题目给了 \(\angle{BAA_1} = \angle{CAA_1} = 60\degree\) 这个条件，因此容易想到将 \(\overrightarrow{AB_1}\) 及 \(\overrightarrow{BC_1}\) 向三条棱上进行拆解，即
\[ \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]
因此，
\[ \overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{BC_1} = (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB})·(\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = 1 \]
又因为，
\[ \lVert\overrightarrow{AB_1}\rVert = \lVert\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB})^2} = \sqrt{3} \]
\[ \lVert\overrightarrow{BC_1}\rVert = \lVert\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\rVert = \sqrt{(\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})^2} = \sqrt{2} \]
于是，
\[ \cos{<\overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{BC_1}>} = \dfrac{1}{\sqrt{3}*\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \]
反思
当要求两向量数量积时，应从多个角度（定义式、坐标、分解）考虑其是否可求。